なんで設定のこんな奥深くに隠しちゃってるのか謎ですが、iPhoneにはiOS標準で画面を録画する機能があります。
やり方
設定アプリをひらく。
設定アプリの中の「コントロールセンター」をタップ。
「コントロールをカスタマイズ」をタップ。
画面下から「画面収録」の+ボタンをタップし、画面上の「含める」に「画面収録」を追加すればOK。
コントロールセンターの下に画面収録のボタンが追加され、ボタンをタップすることで録画が開始されます。（ボタンを3Dタッチで強く押すと設定メニューが表示されます）
iPhoneで画面を録画する方法